2021年成人高考《數學（理）》難點：指數函數和對數函數

　　指數函數、對數函數是高考考查的重點內容之一，本節主要幫助考生掌握兩種函數的概念、圖象和性質并會用它們去解決某些簡單的實際問題。

　　●難點磁場

　　（★★★★★）設f（x）=log2 ,F（x）= +f（x）。

　　（1）試判斷函數f（x）的單調性，并用函數單調性定義，給出證明；

　　（2）若f（x）的反函數為f-1（x），證明：對任意的自然數n（n≥3），都有f-1（n）> ;

　　（3）若F（x）的反函數F-1（x），證明：方程F-1（x）=0有惟一解。

　　●案例探究

　　[例1]已知過原點O的一條直線與函數y=log8x的圖象交于A、B兩點，分別過點A、B作y軸的平行線與函數y=log2x的圖象交于C、D兩點。

　　（1）證明：點C、D和原點O在同一條直線上；

　　（2）當BC平行于x軸時，求點A的坐標。

　　命題意圖：本題主要考查對數函數圖象、對數換底公式、對數方程、指數方程等基礎知識，考查學生的分析能力和運算能力。屬★★★★級題目。

　　知識依托：（1）證明三點共線的方法：kOC=kOD.

　　（2）第（2）問的解答中蘊涵著方程思想，只要得到方程（1），即可求得A點坐標。

　　錯解分析：不易考慮運用方程思想去解決實際問題。

　　技巧與方法：本題第一問運用斜率相等去證明三點共線；第二問運用方程思想去求得點A的坐標。

　　（1）證明：設點A、B的橫坐標分別為x1、x2,由題意知：x1>1,x2>1,則A、B縱坐標分別為log8x1,log8x2.因為A、B在過點O的直線上，所以 ,點C、D坐標分別為（x1,log2x1），（x2,log2x2），由于log2x1= = 3log8x2,所以OC的斜率：k1= ,

　　OD的斜率：k2= ，由此可知：k1=k2,即O、C、D在同一條直線上。

　　（2）解：由BC平行于x軸知：log2x1=log8x2 即：log2x1= log2x2,代入x2log8x1=x1log8x2得：x13log8x1=3x1log8x1,由于x1>1知log8x1≠0,∴x13=3x1.又x1>1,∴x1= ,則點A的坐標為（ ，log8 ）。

　　[例2]在xOy平面上有一點列P1（a1,b1），P2（a2,b2），…，Pn（an,bn）…，對每個自然數n點Pn位于函數y=2000（ ）x（0

　　（1）求點Pn的縱坐標bn的表達式；

　　（2）若對于每個自然數n,以bn,bn+1,bn+2為邊長能構成一個三角形，求a的取值范圍；

　　（3）設Cn=lg（bn）（n∈N*），若a取（2）中確定的范圍內的最小整數，問數列{Cn}前多少項的和最大？試說明理由。

　　命題意圖：本題把平面點列，指數函數，對數、最值等知識點揉合在一起，構成一個思維難度較大的綜合題目，本題主要考查考生對綜合知識分析和運用的能力。屬★★★★★級

　　題目。

　　知識依托：指數函數、對數函數及數列、最值等知識。

　　錯解分析：考生對綜合知識不易駕馭，思維難度較大，找不到解題的突破口。

　　技巧與方法：本題屬于知識綜合題，關鍵在于讀題過程中對條件的思考與認識，并會運用相關的知識點去解決問題。

　　解：（1）由題意知：an=n+ ,∴bn=2000（ ） .

　　（2）∵函數y=2000（ ）x（0bn+1>bn+2.則以bn,bn+1,bn+2為邊長能構成一個三角形的充要條件是bn+2+bn+1>bn,即（ ）2+（ ）-1>0,解得a<-5（1+ a="">5（ -1）。∴5（ -1）

　　（3）∵5（ -1）

　　∴bn=2000（ ） .數列{bn}是一個遞減的正數數列，對每個自然數n≥2,Bn=bnBn-1.于是當bn≥1時，Bn

　　●錦囊妙計

　　本難點所涉及的問題以及解決的方法有：

　　（1）運用兩種函數的圖象和性質去解決基本問題。此類題目要求考生熟練掌握函數的圖象和性質并能靈活應用。

　　（2）綜合性題目。此類題目要求考生具有較強的分析能力和邏輯思維能力。

　　（3）應用題目。此類題目要求考生具有較強的建模能力。